Matematika diskirt Pertemuan 3

Putra Ferdi Nota Wara//12190225

Robi Saputra//12190232

1. Tentukan Validitas pernyataan dibawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real

a) ∀x, ∀y, P(x² < y + 1)                         b) ∀x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]

    ∀x, ∃y, P(x² < y + 1)                              ∀x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]

    ∃x, ∀y, P(x² < y + 1)                              ∃x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]

    ∃x, ∃y, P(x² < y + 1)                               ∃x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]

    Jawaban: a) Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y yang merupakan

                        bilangan real. Bilangan x real dapat dibagi habis dengan bilangan y real.

                        Setiap ada bilangan real dari himpunan y dan semua dari himpunan x. Bilangan-

                        bilangan x dapat dibagi habis oleh beberapa bilangan y.

                        Beberapa ada bilangan real dari himpunan x dan semua dari himpunan y.

                        Bilangan x tidak dapat dibagi habis oleh semua bilangan y dinyatakan salah.

                        Beberapa bilangan x dan juga beberapa bilangan y. Harusnya kalau dihitung bilangan

                        tersebut dengan operator < bahwa tidak benar.

                    b) Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y merupakan bilangan real. Jika himpunan x kurang dari himpunan y maka himpunan x² kurang dari himpunan y².

Semua bilangan  x adalah bilangan real dan beberapa himpunan y adalh bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y². Beberapa amggota himpunan x adalah bilangan real dan semua anggota himpunan y adalah bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y². Beberapa anggota himpunan x adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan y adalah bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².

                       

2. Negasikan setiap pernyataan dibawah ini:

    a) ∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)

    b) ∃x, P(x) ∨ ∀y, Q(y)

    c) ∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)] 

    Jawaban: a) ~ [∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)]

                       = ∃x, ~P(x) ∨ ∀x, ∼Q(y)

                    b) ~ [∃x, P(x) ∧ ∀y, Q(y)]

                       = ∀x, ~P(x) ∨ ∃y, ~Q(y)

                    c) ~ [∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)]

                       = ∃x, ∀y, [~P(x) ∧ ~Q(y)]

Induksi Matematika

Buktikan dengan induksi matematik

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

    Jawaban: Basis induksi: p(1) benar, karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah

                   1²=1

                    Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa

                    1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²

                    adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah

                    (2n-1)]

                    Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu

                    1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

                    Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

                    1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n + 1)

                                                                             = n² + (2n + 1)

                                                                             = n² + 2n + 1

                                                                             = (n + 1)²

2. Untuk semua n ≥ 1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3.

    Jawaban: Basis Induksi: p(1) benar, karena untuk n = 1, 1³ + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3.

                    Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

                                  n³ + 2n adalah kelipatan 3

                   diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga

                   benar, yaitu

                   (n + 1)³ + 2(n+1) adalah kelipatan 3

                  Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

                  (n + 1)³ + 2(n + 1) = (n³ + 3n³ + 3n + 1) + (2n + 2)

                                                = (n³ + 2n) + 3n² + 3n + 3

                                                = (n³ + 2n) + 3(n² + n + 1)

3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3

    Untuk n = 1

    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3

    1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3

    1(2) = (1(2)(3))/3

    2 = 2

    terbukti benar,

    untuk n = k

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

    Uji untuk n = k + 1

    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

    (k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

    k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

    (k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

    terbukti benar.